Се­че­ни­ем ко­ну­са плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через его вер­ши­ну и хорду ос­но­ва­ния, яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник.

Ответ: в).

Про­ве­дем вы­со­ту SO, точка O  — центр пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей. В ос­но­ва­нии пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды лежит квад­рат, тогда S_осн = 49 м². Най­дем BD:

Зная объем пи­ра­ми­ды, най­дем вы­со­ту по фор­му­ле

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди диа­го­наль­но­го се­че­ния:

Ответ: м².

Ос­но­ва­ни­ем пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды  — квад­рат, бо­ко­вые грани  — рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки. Рас­смот­рим тре­уголь­ник DSC  — рав­но­бед­рен­ный. По усло­вию тогда Тогда тре­уголь­ник DSC рав­но­сто­рон­ний, зна­чит,

Про­ве­дем вы­со­ту SO. Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния. Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка COS:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Бо­ко­вые ребра приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны ее ос­но­ва­нию, а длина вы­со­ты приз­мы равна длине бо­ко­во­го ребра. Точка M  — се­ре­ди­на ребра приз­мы BB₁. По­стро­им се­че­ние приз­мы плос­ко­стью AMD. Пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны, по­это­му по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти пря­мая AD па­рал­лель­на плос­ко­сти BB₁C₁C. Се­ку­щая плос­кость AMD пе­ре­се­ка­ет плос­кость BB₁C₁C по пря­мой, ко­то­рая па­рал­лель­на пря­мой AD. В пря­мо­уголь­ни­ке BB₁C₁C по­стро­им от­ре­зок MN па­рал­лель­ный пря­мой BC, точка N лежит на ребре CC₁. Про­ве­дем от­рез­ки DN и AM и по­лу­чим тра­пе­цию AMND, она яв­ля­ет­ся се­че­ни­ем приз­мы плос­ко­стью AMD, по усло­вию пло­щадь этой тра­пе­ции равна 48.

Пря­мые MN и BC па­рал­лель­ны, также как и пря­мые MB и NC. Угол B₁BC яв­ля­ет­ся пря­мым, тогда че­ты­рех­уголь­ник BMNC  — пря­мо­уголь­ник. От­сю­да BC  =  MN  =  4, а также MB  =  CN. В тра­пе­ции ABCD опу­стим вы­со­ту BK, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мые AD и MK пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Угол MKB  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, его гра­дус­ная мера рана 60°. Так как от­ре­зок MK  — вы­со­та тра­пе­ции AMND, имеем:

Тре­уголь­ник MBK  — пря­мо­уголь­ный, угол KMB равен 30°, тогда длина ка­те­та BK равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы MK, то есть 4. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Длина ребра BB₁ в два раза боль­ше длины от­рез­ка MB и равна Пло­щадь ос­но­ва­ния призы равна пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD. Най­дем ее:

Най­дем объем приз­мы:

Ответ: